음이항분포

1. 서론

이항분포는 성공횟수가 변수다. 예시로 우리가 주사위를 던저 1이 나왔을 때를 성공 나머지를 실패라 한다면, 이항분포는 성공의 횟수가 변수가 된다. (시도횟수는 고정) 6회시도 했을 때 3회 성공할 확률은? 

 

반대로 음이항 분포는 성공횟수가 고정되어있고 시도횟수가 변수가 된다. 특정 횟수를 성공하기 까지 몇 번의 시도를 했을 확률을 구하는 것이다. 위의 예시를 음이항 분포의 문제로 변환하여 3번의 성공을 하기 까지 6번의 시도를 했을 확률을 얼마인가?를 구해보면

가 된다. 값을 실제로 구해보면 0.0268이다.

 

이는 음이항 분포의 일반적인 공식이 다음과 같기 때문인데

음이항 분포가 이항분포와 관련된 중요한 특징 하나가 있는데  다음과 같다. 

a-1 번 시도 중 r-1번 이하로 성공했을 확률 = r번의 성공하기까지 시도횟수가  a번 이상일 확률

ex) 9번의 시도중 1번이하 성공했을 확률(이항분포의 관점) = 2번 성공하기 까지 시도횟수가 10번 이상일 확률 (음이항분포의 관점) 

부연설명) 2번째 성공이 10번째 시도 이후에 나옴 → 즉, 9번의 시행까지 성공이 1번 이하여야 함

 

음이항 분포의 활용)

2. 고객 상담원 콜 응답

💬 “상담원이 고객을 5명 성공적으로 응대하기까지 몇 번의 통화를 해야 할까?”

• 성공: 고객과 통화가 연결됨 (확률 p=0.2)
• 실패: 고객이 부재중
• 목표: 5명의 고객과 연결될 때까지의 총 통화 시도 수

여기서 우리는 성공 5번(k=5)을 위해 몇 번이나 시도(X)를 해야 하는지 알고 싶다.

• 확률 p=0.2 성공 5회

예를 들어, 상담원이 9번째 통화에서 5번째 성공을 얻을 확률은:

이 되고 이 값은 0.00918로 약 0.9% 정도 된다.